1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 |
;本程序在VMWARE中调试通过,可以写入软盘,并正常执行 ;可以使用Bochs 但是操作细节比较复杂 ;程序界面不够友好 ;程序的切换方式是 ESC 注意不要进入时间设置就退不出来了. ;在时间设置界面没有设置提示语句,进去就是黑屏幕,不过只要输入数字就会显示.注意输入 的 ;数字的大小,世界上没有24:00:00以后的时间.我也懒得去判断输入了. ;输入后按回车或者超过6个有效 数字,程序会自动设置时间,并切换回主界面 ;在Windows 下看不到时间的更改,原因是,Windows只在系统引导的时候读取CMOS时间,并把它的 ;初值给8253,其余时间都由8253为操作系统提供时钟,因此尽管在Windows状态下可以更改CMOS ;中的时间,但是右下脚的时间是不会产生变化的,也就是说更改时间是看不到的.关机的时候, ;系统把8253中的时间经过计算后写回CMOS。这点在WINDOWS下调试程序应当注意. ;在Windows 2000以后的操作系统中,系统内核不允许直接端口操作,因此,在DEBUG中执行IN,OUT ;操作是无效的.因此端口的调试应在9X或DOS下进行,比如在虚拟机中的Windows 98中. ;中断嵌套问题。 ;以一个8253作为中断处理芯片来算,则同时可能发生的最大中断数量为8级,因此堆栈必须至少足够 ;8个以上中断的最大数目才不会发生可能的问题。 ;286 以上系统使用两片8259A级联管理15级可屏蔽中断。从中断0到中断15。比较常见的分配方式: ; IRQ0 系统定时器 ; IRQ1 键盘 ; IRQ2 可编程中断控制器8259A ; IRQ3 COM2 ( 串口 ) ; IRQ4 COM1 ( 串口 ) ; IRQ6 软盘控制器 ; IRQ7 并行口LPT1 ; IRQ8 系统CMOS/实时钟 ; IRQ12 PS/2鼠标 ; IRQ13 数学协处理器 ; IRQ14 第一IDE控制器(硬盘) ; IRQ15 第二IDE控制器 (CDROM ) ; IRQ5 可用 (如声卡) ; IRQ9 可用 (如网卡) ; IRQ10 可用 (如USB) ; IRQ11 可用 (如SCSI主适配器) ;按照16级中断来处理,那么,在极端的情况下如果16级同时发生,则事先准备的堆栈区域必须满足 ;16级中断的要求。每级中断至少14个寄存器。即14*16/8*16=448B, 堆栈应大于此数. ;CPU工作在 8086模式下,BIOS在初始化完系统后,在1M内存的使用情况 ;384KB上位内存----- ************************ ; * * ; * * ;保留 * * ; * * ; * * ;640KB常规内存----- ************************------9FFFFH ; * * BIOS扩展数据区 1KB ; ************************------9FC00H ; * * ; * * ___607KB ; * * ; * * ; ************************------07E00H ; * * 系统引导扇区安放位置 512B ; ************************ ------07C00H ; * * ; * * _______29KB ; * * ; ************************------00800H ; * * BIOS数据区 1KB ; ************************------003FFH ; * * BIOS中断向量表 1KB ; ************************------00000H ; ;只可以使用常规的640K中的没有被占用的空间。 Assume cs:code Data Segment Error03 db 'Disk Write-Protect Error','$' ;磁盘写保护错误 Error04 db 'Can Not Find The Right Sector','$' ;磁道寻找错误,软盘损坏 Error20 db 'Floppy Drive Error ,Maybe It Can Not Work !','$' ;软盘不存在或工作部正常 Error80 db 'No Answer From Disk Drive!','$' ;驱动器不响应 ErrorExit db 'Press Any Key To Try Again Or Press ESC To Quit','$' Data Ends Code Segment Start: ;安装程序 ;写入以下的程序到第一个和后面的扇区 ;不需要确定程序的确切固定长度,因为int 13h只能按照512字节的倍数传递,所以即使比512多 ;一个字节,也要传递512个。 mov ax,Data mov ds,ax mov ax,cs mov es,ax ;要写的内存基址 lea bx,Real ;要写的内存偏移 mov ah,3 ;功能号,写 mov al,((ProgrameEnd-Start)/512+1);写扇区的数目,浪费一个扇区以获得编写的方便。 mov ch,0 ;磁道号 mov cl,1 ;扇区号 mov dl,0 ;驱动器号 mov dh,0 ;磁头号(面) int 13h ;磁盘读写容错处理 cmp ah,0 je WriteFinish cmp ah,03h je WriteError03 cmp ah,04h je WriteError04 cmp ah,20h je WriteError20 cmp ah,80h je WriteError80 WriteFinish: mov ah,4ch int 21h WriteError03: mov si,Offset Error03 jmp WriteErrorManage WriteError04: mov si,Offset Error04 jmp WriteErrorManage WriteError20: mov si,offset Error20 jmp WriteErrorManage WriteError80: mov si,Offset Error80 jmp WriteErrorManage WriteErrorManage: mov dh,4 mov dl,4 call near ptr Show_Str mov si,Offset ErrorExit mov dh,6 mov dl,4 Call near ptr Show_Str mov ah,0 int 16h Call near ptr ClearScrean cmp al,1bh jne Start jmp WriteFinish ;实际程序体 Real: ;第一个扇区的数据 ;第一个扇区只作为引导第二个扇区的引导程序 作用是把第二个扇区读到0:800处, ;并置cs:ip到0:800,原因是在引导现有的操作系统的时候,需要用到0:7c00内存区 ;其中int 9h 需要占用0040:17作为状态字 ;必须把0:7c00内存空闲出来。 ;由于硬盘引导记录只能被存放到0:7c00处才能被正确引导,因此,需要在引导前把本程序 ;移出内存。 ;程序转移 ;设置系统用堆栈内存区,由于没有操作系统支持,因此必须自己设定堆栈范围 ;栈顶设置在9FBFF:0处,9FC00H(BIOS)保留数据区前一个位置. cli ;避免堆栈设置时发生中断 mov ax,9000H mov ss,ax mov ax,0FBFFH mov sp,ax sti ;内存基址设置,一次设置,以后不用更改,因为程序小于64K mov ax,0 mov ds,ax mov es,ax ;读取第二和以后的扇区到内存的0:800处 mov bx,800h ;要读的内存偏移 mov ah,2 ;功能号,读 mov al,((ProgrameEnd-T)/512+1) ;读扇区的数目,浪费512个字节以获得编写的方便。 mov ch,0 ;磁道号 mov cl,2 ;扇区号 mov dl,0 ;驱动器号 mov dh,0 ;磁头号(面) int 13h ;置CS,IP mov ax,0 mov bx,800h push ax push bx retf ;retf 相当于 ;pop ip ;pop cs ;cs ip 的值不能通过普通的mov指令修改 ;凑足一个扇区,主要满足int 19 对'55AA'标志的要求 ;当前指令减去标号指令地址来计算应当的填充数据. db 510-($- Real) dup( 'A') DW 0AA55H ;一扇区以后的扇区的数据 T: jmp ReturnPoint;实际程序代码区 ;Data Segment Reset db '1)Reset PC' ,0ah,0ah,0ah ;换行 ;'$' StartS db '2)Start System',0ah,0ah,0ah ;'$' Clock db '3)Clock',0ah,0ah ,0ah ;'$' Set db '4)Set Clock','$' ;时钟设置界面提示信息 SetTimeMessage db 'Please Input The Right Time :','$' TimeBuffer db 3 dup(0),'e' ;'$'的ASCII为36 即 0x24 会出现错误BCD 码中有0x24 e的ASCII为101 即 0x65 ;判断是否为终止符号 Counter dw 0 ;用在时钟设置中的字符输入计数器 TimeShowBuffer db 6 dup('0'),'$' ;Data ends ReturnPoint: ;程序返回点 ;设置屏幕显示 ;清屏 call ClearScrean ;由于使用静态地址分配,因此只有采用标号差来计算距离数据区的长度,最终确定数据区的位置。 mov si,(Reset-T+800H) mov dh,4 mov dl,12 call Show_Str ;循环读取键盘缓冲区 ReadKeybordBuffer: mov ax,0 ;实际参数传递为ah ,但要在循环读取中要清空 al 因此直接清空 ax int 16h cmp al,'1' je RebootFar ;程序超过JE的最大跳转范围 cmp al,'2' je StartSystemFar cmp al,'3' je TimeShow cmp al,'4' je Clock_SetFar jmp ReadKeybordBuffer Clock_SetFar: jmp Clock_Set RebootFar: jmp Reboot StartSystemFar: jmp StartSystem ;时间显示 TimeShow: call ClearScrean ;读取时间 TimeShowStart: mov bx,(TimeBuffer-T+800H) call ReadTime ;转换时间 mov bx,(TimeBuffer-T+800H) mov si,(TimeShowBuffer-T+800H);偏移地址 call BCDChange ;向显示时间的格式转换 mov bx,(TimeShowBuffer-T+800H) mov si,bx call ChangeForShow ;屏幕显示 mov si,(TimeShowBuffer-T+800H) mov dh,16 mov dl,20 call Show_Str ;检查键盘输入 mov ah,01h;检查缓冲区,若有字符则ZF=0,否则ZF=1 同时 AH=扫描码,AL=ASCII int 16h ;在调用int 16h的过程中共需要多次PUSH数据,因此堆栈应满足需要(消耗100字节以内的内存)。 jnz CheckCharacter jmp TimeShowStart CheckCharacter: mov ah,00h int 16h cmp ah,01h ;判断是否为ESC je ExitTimeShow jmp TimeShowStart ExitTimeShow: call ClearScrean ;清屏 jmp ReturnPoint Clock_Set: ;清屏 Call ClearScrean mov si,(SetTimeMessage-T+800H) mov dh,3 mov dl,6 Call Show_Str ;获取TimeShowBuffer的偏移地址作为字符串输入的接收内存 mov si,(TimeShowBuffer-T+800H) ;清除切换界面后内存的数据残留问题 mov ax,0 mov [si-2],ax mov al,'0' mov bx,0 mov cx,6 ClearDump: mov [si][bx],al inc bx loop ClearDump ;字符输入循环控制部分 CharInputControl: ;16号中断获取字符 mov ah,0 int 16h ;判断是否是数字 ;判断是否小于0 cmp al,'0' jnb next ;非数字则判断是否为控制字符 jmp ControlCharInput ;判断是否大于9 next: cmp al,'9' ;数字则执行数字的输入 jna NumberCharInput ;非数字则判断是否为控制字符 jmp ControlCharInput ;控制字符判断 ControlCharInput: ;判断是否为左删除键 cmp al,08h je BackSpace ;判断是否为回车 cmp al,0dh je SetTimeNow ;判断是否为ESC cmp al,1bh je ReturnPointLong ;返回字符输入 jmp CharInputControl ReturnPointLong: jmp ReturnPoint ;是有效的数字输入 NumberCharInput: ;判断是否超过6个数字的输入 mov dx,[si-2] cmp dx,5 ja SetTimeNow ;数字写入相应得内存区域 mov ah,0 ;程序超过CALL最大长度,要使用CALL far PRT或者CALL near PRT 实现跳转, ;但是这样长跳并不能解决所有问题。 ;因为长跳是CS IP入栈 并重新设置编译器计算的地址,而本程序的地址不能通过编译器计算, ;此时的call 和JMP 有很大的差别. ;只能实行近跳(Near) ;注意JUMP FAR PTR 和jump near ptr 的区别很大,尤其在静态地址分配问题上. call near ptr CharactorInputControl ;显示刚才的输入数字 mov ah,2 mov dh,9 mov dl,11 Call near ptr CharactorInputControl ;返回字符输入 jmp CharInputControl ;处理左删除 BackSpace: ;字符出栈 mov ah,1 call near ptr CharactorInputControl ;屏幕显示出栈后剩余的字符 mov ah,2 mov dh,9 mov dl,11 call near ptr CharactorInputControl ;返回字符输入 jmp CharInputControl ;时间设置开始 SetTimeNow: ;设置偏移 mov si,(TimeShowBuffer-T+800H) mov bx,si call near ptr ChangeFromKeyboardInput mov si,(TimeShowBuffer-T+800H) mov bx,(TimeBuffer-T+800H) call near ptr ChangeToBCD mov si,(TimeBuffer-T+800H) call near ptr WriteToCMOS jmp ReturnPoint ;屏幕显示子程序,以'$'为结束标志 ;以ds:si指向要显示的内存区,dh存放行,dl存放列 Show_Str proc near ;寄存器入栈保护 push es push ax push bx push cx mov ax,0b800h mov es,ax mov al,160 mul dh mov bx,ax mov dh,0 add dl,dl add bx,dx mov cx,bx ;为换行标志准备 LoopShow_Str: ;判断结束标志 cmp ds:[si],byte ptr '$' je EndLoopShow_Str ;判断换行标志 cmp byte ptr ds:[si], 0ah jne NoLF add cx,160 mov bx,cx inc si jmp LoopShow_Str NoLF: mov al,ds:[si] mov es:[bx],al add bx,2 inc si jmp LoopShow_Str EndLoopShow_Str: pop cx pop bx pop ax pop es ret Show_Str endp ;BCD码向十进制转换得子程序 ;ds:[bx]指向要处理的数据的内存地址 ;es:[si]指向处理完成后数据存放的地址 ;'$'指示处理内存的数据的终止符号。 BCDChange proc near ;寄存器保护 push ax push cx BCDChangeStart: mov al,ds:[bx] cmp al,'e' ;'$'的ASCII为36 即 0x24 会出现错误 e的ASCII为101 即 0x65 ;判断是否为终止符号 je ExitBCDChange mov ah,al ;保护AL mov cl,4 ;设置移动位数 ;高四位,并存储 shr ah,cl mov es:[si],ah inc si ;低四位 ;清高四位 shl al,cl shr al,cl mov es:[si],al inc si inc bx jmp BCDChangeStart ExitBCDChange: pop cx pop ax ret BCDChange Endp ;数字向屏幕显示转化子程序 ;ds:[bx]指向要处理的数据的内存地址 ;es:[si]指向处理完成后数据存放的地址 ;'$'指示处理内存的数据的终止符号。 ChangeForShow proc near push ax ChangeForShowStart: mov al,ds:[bx] cmp al,'$' je ExitChangeForShow add al,30h mov es:[si],al inc bx inc si jmp ChangeForShowStart ExitChangeForShow: pop ax ret ChangeForShow Endp ;时间读取子程序 ;ds:[bx]指向存放数据的内存地址 ReadTime proc near push ax ;时 mov al,4 out 70h,al in al,71h mov ds:[bx],al inc bx ;分 mov al,2 out 70h,al in al,71h mov ds:[bx],al inc bx ;秒 mov al,0 out 70h,al in al,71h mov ds:[bx],al pop ax ret ReadTime Endp ;清屏子程序 ClearScrean proc near push ax push bx push cx push ds mov ax,0b800h mov ds,ax mov cx,2000 mov bx,0 loopClearScrean: mov ds:[bx],byte ptr ' ' add bx,2 loop loopClearScrean pop ds pop cx pop bx pop ax ret ClearScrean Endp ;转化用户的键盘输入到实际的数据输入的子程序 ;ds:[si]指向要转化的内存区于 ;ES:[bx]指向转化完成后的内存地址 ;用'$'作为结束的标志 ChangeFromKeyboardInput proc near push ax StartChangeFromKeyboardInput: mov al,ds:[si] cmp al,'$' je ExitChangeFromKeyboardInput sub al,30h mov es:[bx],al inc si inc bx jmp StartChangeFromKeyboardInput ExitChangeFromKeyboardInput: pop ax ret ChangeFromKeyboardInput Endp ;十进制向BCD码转化的子程序 ;ds:[si]指向要处理的内存区域用'$'作为内存结束标志 ;es:[bx]指向处理完的内存区域 ChangeToBCD proc near push cx push ax mov cl,4 StartChangeToBCD: mov al,ds:[si] cmp al,'$' je ExitChangeToBCD shl al,cl inc si mov ah,ds:[si] add al,ah inc si mov es:[bx],al inc bx jmp StartChangeToBCD ExitChangeToBCD: pop ax pop cx ret ChangeToBCD Endp ;数据输入和屏显子程序 ;ah存放功能号,0表示入栈,1表示出栈,2表示显示 ;ds:[si]指向字符栈空间 ;ds:[si]的前面两个字节用于存放计数器的数值 ;对于0号功能:(al)=入栈字符 ;对于1号功能:(al)=返回的字符 ;对于2号功能:(dh)、(dl)=字符在屏幕上显示的行、列位置 CharactorInputControl proc near push bx push dx push di push es cmp ah,0 je charpush cmp ah,1 je charpop cmp ah,2 je charshow jmp sret charpush: mov bx,[si-2] mov [si][bx],al inc word ptr [si-2] jmp sret charpop: cmp word ptr [si-2],0 je sret dec word ptr [si-2] mov bx,[si-2] mov al,[si][bx] mov byte ptr [si][bx],0 ;清除数据 jmp sret charshow: mov bx,0b800h mov es,bx mov al,160 mov ah,0 mul dh mov di,ax add dl,dl mov dh,0 add di,dx mov bx,0 charshows: cmp bx,[si-2] jne noempty mov byte ptr es:[di],' ' jmp sret noempty: mov al,[si][bx] mov es:[di],al mov byte ptr es:[di+2],' ' inc bx add di,2 jmp charshows sret: pop es pop di pop dx pop bx ret CharactorInputControl Endp ;数据写入CMOS ;ds:[si]指向内存区域 ;CPU速度太快,端口来不及取走数据,因此,必须设置CPU等待。 ;不等待的话,总是设置错误,调了好几天才注意到. ;究竟等待多长,不清楚,因此干脆写入一个数据后,就一直从端口读出,和写入的比较,直到相同了, ;才设置下一个. ;数据从端口的读入读出时间正好使得CMOS有时间取走数据。 WriteToCMOS proc near push ax ;时 mov al,4 out 70h,al mov al,ds:[si] mov ah,al out 71h,al ;延时代码,CPU从端口取走数据会自动匹配端口速度,因此下列代码相当于延时,同时又提高了 ;程序的执行速度和代码的简化 in al,71h inc si ;分 mov al,2 out 70h,al mov al,ds:[si] mov ah,al out 71h,al inc si in al,71h ;秒 mov al,0 out 70h,al mov al,ds:[si] out 71h,al in al,71h pop ax ret WriteToCmos Endp Reboot: mov ax,0ffffh mov bx,0 push ax push bx retf ;retf 相当于 ;pop ip ;pop cs ;cs ip 的值不能通过普通的mov指令修改 StartSystem: ;读取C盘的第一扇区到内存的0:7c00处 mov bx,7c00h ;读到内存中的地址。 mov dl,80h mov ah,2 ;读磁盘操作 mov dh,0 ;0盘面 mov ch,0 ;0磁道 mov cl,1 ;1扇区 mov al,1 ;只读一个扇区 int 13h ;置CS,IP mov ax,0 mov bx,7c00h push ax push bx retf ;retf 相当于 ;pop ip ;pop cs ;cs ip 的值不能通过普通的mov指令修改 ;计算代码长度 ProgrameEnd: Code ends end Start |
CGContextAddCurveToPoint 的深入理解
CGContextAddCurveToPoint 这个函数看上去一般般,仔细琢磨发现不简单,为什么三个点就可以确定一条曲线呢? 网上查了查,小小研究了一下下。
1.关键知识 窃取自 (http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/jxcamcad/cadcam/Mains/main4-2.htm)
Bezier曲线
在工程设计中,由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。另一方面,在一些更注重外观的设计中,型值点的精度又不很重要。从 1962年起,法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。以这种方法为基础,完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统 UNIS-URF,1972年在雷诺汽车公司正式使用。
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线(称为特征多边形)的各顶点唯一地定义出来的。在多边形的各顶点中,只有第一点和最后一点在曲线上,其余的顶 点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。改变控制点与改变 曲线形状有着形象生动的直接联系。如图2.6所示。
1)Bezier曲线的定义
给定 n+ l个空间向量bi(i= 0,l,…,n),称 n次参数曲线段
为Bezier曲线。式中使用了Bernstein多项式Bi,n(u)作为基函数:
u是局部参数,u∈[0,1]。我们给出n=3的Bezier曲线的矩阵表示:
则有 P(u)=UMB
2)Bezier曲线的性质
Bezier曲线的基本数学表达式:
这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。
这 说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关,而与其余各点的位置关。Bezier曲线的这一特性说明,只需适当移动控制点就能获得满意的曲 线位置和形状。利用这个特性,当采用分段Bezier曲线时,只要保证曲线在接点处的折线共线,就可以得到C1连续性。如图2.7所示的一个公共端点的二 条Bezier曲线,当两段曲线的控制折线在接点处共线时,就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。
Bezier曲线还具有凸包性,即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。研究表明,分段Bezier曲线的凸包性体现更明显,这对于曲线的分割求交将更为有利。
此外,Bezier曲线的形状仅与特征多边形各控制点bi有关,它不依赖于坐标系的选择,因此具有几何不变性。没有局部控制能力是 Bezier曲线的一个缺点。在工程中,产品的模型常常需要局部修改。缺乏局部控制的能力在工程中是难以接受的。Bezier曲线另一缺点是随着控制点的 增加,曲线的次数也增加,因而计算量增大。下面介绍的B样条曲线可克服这两个缺点。
3)Bezier曲线的计算及分割作图法
Bezier曲线在工程中广泛接受的一个重要原因是其可以采用非常简单的方法制作。下面推导Bezier多项式的递归关系,这种关系可方便用计算机程序实现,而且便于用图形来解释。重写Bezier曲线方程为
可以看到,第一个括号内的项形成对控制点b0,b1,…,bn-1的Bezier多项式,而第二个方括号内的项对b1,b2,…,bn形成多项式。现在引人符号Pk,i(u)表示对bk,bk+l,…,b的Bezier多项式,那么上述
方程可以重写为
上式表明,Bezier多项式可以由另外两个这种多项式求得。其求法为用一条线连接相应的点(即在同一参数U),并与u成比例地分那条线。
我 们再用图2.8所示的例子来看一下Bezier曲线的分割作图法。前例给出的由点b0,b1,b2,b3控制成的一条三次Bezier曲线可在u=l/2 处分段,分成b4的两段均为Bezier曲线,它们由各自的四个控制点控制。在图2.8中,点b0,b1,b2和b3控制形成一条三次,Bezier曲 线。取线段bobl的中点b4,线段b1b2的中点b5,线段 b2b3的中点 b6,线段 b4b5的中点 b7,线段 b5 b6的中点b8,以及线段b7bs的中点bg,则可以证明,b9在由b。,b1,b2,b3确定的三次Bezier曲线上,且为u=l/2时的点 P(l/2)。我们将u=l/2代人矩阵方程就可得到:
图 2.8的分割,我们获得折线b0b4 b7b9b8b6b3,它比折线b0blb2b3更接近该BeZier曲线,且b9在曲线上。继续分别对由b9分成的两段曲线作分割,除获得更接近曲线的 折线外,还获得曲线上的两个点。分割次数越多,新的折线越逼近曲线,当到达某种精度时,可将获得的折线近似的表达Bezier曲线。由于分割操作仅涉及加 法和移位操作,所以便于硬件实现,提高作图速度。读者可根据送推式写出相应的计算机程序,进一步从几何作图的角度,对计算式改进,以便使算法更为简单。
以上部分为算法原理,下面是实际的应用
CGContextAddArc的使用
2.函数参数理解,此处剽窃(http://differentisnotdifferent.diandian.com/post/2012-07-30/40032320467),怕哪天他的链接无效了,直接剽窃到自己的文章里面。
这个函数让我在纸上画了半天才搞明白,把我的理解给大家分享下。
void CGContextAddArc(CGContextRef c, CGFloat x, CGFloat y, CGFloat radius, CGFloat startAngle, CGFloat endAngle, int clockwise)
CGContextRef不解释了,x,y为圆点坐标,startAngle为开始的弧度,endAngle为 结束的弧度,clockwise 0为顺时针,1为逆时针。
CGContextAddArc(context, 160, 200, 100, 0, 45*(M_PI/180), 0);
所以对上面这对代码的解释是这样的:
1)startAngle为0,绿色箭头的地方。
2)endAngle为45,黄色箭头的地方。
3)clockwise为0,按照红色箭头往下绘制图形。
4)所以效果就是红色的扇形。
补充:如果clockwise为1,则是蓝色部分区域。