学过算法的朋友都知道，计算机中的算法其实就是数学运算。所以，再讲解RSA加密算法之前，有必要了解一下一些必备的数学知识。我们就从数学知识开始讲解。
必备数学知识
RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。
素数
素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。
互质数
百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。
常见的互质数判断方法主要有以下几种：
两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
2和任何奇数是互质数。例如2和87。
1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
辗转相除法。
指数运算
指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。
模运算
模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。
两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。
RSA加密算法简史
RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
公钥与密钥的产生
假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：
随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。
根据欧拉函数，求得
|
1 |
r = (p-1)(q-1) |
选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
将 p 和 q 的记录销毁。
(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。
加密消息
假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：
|
1 |
ne ≡ c (mod N) |
计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。
解密消息
Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：
|
1 |
cd ≡ n (mod N) |
得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。
解码的原理是：
|
1 |
cd ≡ ne·d(mod N) |
以及
|
1 2 3 |
ed ≡ 1 (modp-1) ed ≡ 1 (modq-1) |
由费马小定理可证明（因为p和q是质数）
|
1 2 3 |
ne·d ≡ n (mod p) ne·d ≡ n (mod q) |
这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）
|
1 |
ne·d ≡ n (mod pq) |
签名消息
RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。
编程实践
下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。
计算公钥和密钥
假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；
|
1 |
r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20; |
根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）
到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。
编程实现
下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：
RSA算法实现：
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 |
package security.rsa; public class RSA { /* * 加密、解密算法 * * @param key 公钥或密钥 * * @param message 数据 * * @return */ public static long rsa(int baseNum, int key, long message) { if (baseNum < 1 || key < 1) { return 0L; } //加密或者解密之后的数据 long rsaMessage = 0L; //加密核心算法 rsaMessage = Math.round(Math.pow(message, key)) % baseNum; return rsaMessage; } public static void main(String[] args) { //基数 int baseNum = 3 * 11; //公钥 int keyE = 3; //密钥 int keyD = 7; //未加密的数据 long msg = 24L; //加密后的数据 long encodeMsg = rsa(baseNum, keyE, msg); //解密后的数据 long decodeMsg = rsa(baseNum, keyD, encodeMsg); System.out.println("加密前：" + msg); System.out.println("加密后：" + encodeMsg); System.out.println("解密后：" + decodeMsg); } } |
RSA算法结果：
加密前：24
加密后：30
解密后：24
（看程序最清楚了，对于要加密的数字m, m^e%N=c, c就是加密之后的密文。c^d%N=m, 就能解密得到m）
RSA加密算法的安全性
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）
另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。
RSA加密算法的缺点
虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：
产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢。